Jeśli jesteś uczniem klasy matematycznej, prawdopodobnie spotkałeś się z pytaniami o wymierną wartość zera. Jest to jedno z najczęstszych błędnych przekonań na temat liczb, zwłaszcza tych o nieskończenie dużych wartościach.
Trójkątny zbiór K Cantora
Jeśli 0 jest liczbą wymierną, to trójkątny zbiór K Cantora jest zbiorem wymiernym. Zbiór ten jest wynikiem usunięcia środka odcinka linii. Następnie dodaje się pozostałe krótsze odcinki. Suma usuniętych odcinków jest długością oryginalnego odcinka. Pokazuje to, że pojęcie „wielkości” nie musi być tożsame z miarą.
W kontekście trójskładnikowego zbioru K Cantora miara Lebesgue’a jest dowodem matematycznym. Zbiór mierzalny można skonstruować, dzieląc kwadrat na dziewięć mniejszych kwadratów. Każdy punkt w otrzymanym zbiorze jest punktem akumulacji.
Okazuje się, że istnieje kanoniczny przykład tej miary, który jest naturalnym zastrzykiem do zbioru trójdzielnego. Jednak ten kanoniczny przykład jest prostym iloczynem pojedynczej funkcji, czyli x|x|x|x=a.
Aby skonstruować trójdzielny zbiór K Cantora, najpierw usuwamy środkową trzecią część odcinka linii. Następnie bierzemy pozostałe odcinki i powtarzamy ten sam proces. Usuwając każdy kolejny odcinek, zmieniamy drogę, którą podążamy, w zależności od strony, którą usuwamy.
Podobnie zbiór Cantora składa się z punktu skupienia i pewnej liczby punktów. Liczby te są punktami granicznymi zbioru Cantora. Reprezentują one trójkowe cyfry 0 i 2. Na przykład 0 to skręt w lewo, a 2 to skręt w prawo.
Miara Lebesgue’a
Miara Lebesgue’a jest standardowym sposobem przypisywania powierzchni podzbiorom przestrzeni euklidesowej. Innymi słowy, jest to funkcja zliczająca, która spełnia następujący aksjomat: l(A) = l*(A).
Jeśli A jest nieskończonym ciągiem liczb rzeczywistych, to zdefiniowana jest miara Lebesgue’a. Taka miara jest również znana jako miara borelowska. Podobnie, zbiór przeliczalny to zbiór posiadający miarę. Może mieć miarę dodatnią, ujemną lub niezerową.
Na przykład, policzalny zbiór liczb rzeczywistych ma miarę Lebesgue’a równą zero. Orbita ma miarę Lebesgue’a równą 0. Natomiast punkt na prostej rzeczywistej ma miarę Lebesgue’a równą 2.
W dodatku miara Lebesgue’a jest standardowym sposobem określania długości podzbioru rozmaitości. Na przykład miara 2 to długość unii dwóch przedziałów.
Zbiór wymierny Lebesgue’a to zbiór klas równoważności funkcji. Zbiór takich zbiorów nazywamy przestrzenią Lp. Podobnie, zbiór zbiorów wymiernych nazywamy s-algebrą. Z algebry można między innymi wyprowadzić własności zbiorów wymiernych Lebesgue’a.
Twierdzenie, że każdy zbiór elementów ma miarę, jest prawdziwe dla większości zbiorów. Jednak dla niektórych zbiorów to stwierdzenie nie jest prawdziwe. Przykładami są zbiór Cantora i liczby Liouville’a.
Rozmiar racjonalny jako podzbiór liczb rzeczywistych
Jeśli kiedykolwiek zastanawiałeś się, jaki jest rozmiar zbioru racjonalnego jako podzbioru liczb rzeczywistych, nie jesteś sam. Jak zapewne się domyślasz, zbiór liczb rzeczywistych jest znacznie większy niż zbiór liczb całkowitych. Jednak zbiór liczb całkowitych jest policzalny, a więc można do niego dodawać liczby policzalne.
To pozwala określić liczbę liczb całkowitych jako podzbiór, ale nie mówi, który z tych dwóch zbiorów jest poprawny. Aby mieć pewność, trzeba znaleźć odpowiedni podzbiór. Najmniejszym możliwym zbiorem jest zbiór liczb parzystych, ale istnieje więcej takich zbiorów. Podobnie, zbiór liczb całkowitych jest odpowiednim podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych, ale nie jest odpowiednim zbiorem ułamków.
Można stworzyć nieskończony zbiór liczb całkowitych i racjonalnych. Policzalne i niepoliczalne nieskończoności liczb całkowitych i racjonalnych są czasem nazywane alef-naught i alef-one. Więcej o tych pojęciach dowiesz się z naszego filmu sesyjnego.
Liczby wymierne są gęstym podzbiorem liczb rzeczywistych. Liczby te można wyrażać jako ułamki lub proporcje. Mają właściwości, które pozwalają im przybliżać dowolną liczbę rzeczywistą z dowolną dokładnością. Chociaż mają skończone rozwinięcie dziesiętne, nie są racjonalne tylko w bazie 10.
Poza tym, że są policzalne, zbiór liczb racjonalnych jest również gęstym podzbiorem liczb rzeczywistych. Oznacza to, że rozmiar zbioru racjonalnego jest porównywalny z rozmiarem liczb rzeczywistych.